about 图形学中的动画效果，只讨论 Physics-Based Animation。

属于图形学系列文章。

Type of Dynamics:

  • Point (particle)
  • Rigid body
  • Deformable body (e.g., elastic materials, fluids, smoke)

Physics-Based Animation

定义：Simulating object motion

Q：How to simulate?

A：Simulating the underlying physics

Q：What is the simulation like?

A：一般通过 (ordinary or partial) differential equations 来描述

例子：

$$ \underset{\text { Newton's } \atop \text { Notation }}{\boldsymbol{\dot{x}}(t)=} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}(t)=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, t) \quad \text { (a first-order ODE) } $$

其中：

$\boldsymbol{x}(t)$: a moving point

$\boldsymbol{\dot{x}}(t)$: its velocity

The differential equation $\boldsymbol{\dot{x}}(t) = 𝒇(x,t)$ defines a vector field over x (at any time t)

Integral Curves: 图中黄色的曲线

Initial Value Problems: 给定函数的微分方程和其中的一个点，求原函数是什么

介绍了Euler’s Method求解这个问题

但是这方法有很多问题

Problem 1: Inaccuracy 误差会导致x(t)从一个圆圈变成有明显棱角的螺线

Problem 2: Instability 下图来自维基百科

所以我们要对欧拉方法进行修正 The Midpoint Method 推导过程见wiki

1 Compute an Euler step

$$ \Delta x =\Delta t \boldsymbol{f}(x, t) $$

2 Evaluate f at the midpoint

$$ \boldsymbol{f}_{\text {mid }} = \boldsymbol{f}\left(\frac{\boldsymbol{x}+\Delta \boldsymbol{x}}{2}, \frac{t+\Delta t}{2}\right) $$

3 Take a step using the midpoint value

$$ x(t+\Delta t)=x(t)+\Delta t \boldsymbol{f}_{m i d} $$

总结一下：欧拉方法是一阶的，中点法是二阶的；这两种方法都很基础，不要用欧拉法因为它很不好，更多方法见 Numerical Recipes

Modular Implementation

Solver Interface